Szarny.io

There should be one-- and preferably only one --obvious way to do it.

tan(x/2)=t と置換して解く f(sinx,cosx) の積分

良く忘れるのでメモ

結論

 \displaystyle
t = tan{\frac{x}{2}}

とおくと,以下のように置換積分が可能になる.

 \displaystyle
\int f(sin{x}, cos{x}) dx = \int f(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}) \cdot \frac{2}{1+t^2} dt

導出

前提

 \displaystyle
t = tan{\frac{x}{2}}

tanxの導出

2倍角の公式を用います.
 \displaystyle \begin{align*}
tanx &= tan{2 \cdot \frac{x}{2}} \\ \\
&= \frac{2tan\frac{x}{2}}{1-tan^2{\frac{x}{2}}} \\ \\
&= \frac{2t}{1-t^2}
\end{align*}

cosxの導出

2倍角の公式を用いた後,cosxをtanxで置き換えます.
 \displaystyle \begin{align*}
cosx &= cos{2 \cdot \frac{x}{2}} \\ \\
&= 2cos^2{\frac{x}{2}} - 1 \\ \\
&= \frac{2}{1 + tan^2{\frac{x}{2}}} - 1 \\ \\
&= \frac{2}{1+t^2} - \frac{1+t^2}{1+t^2} \\ \\
&= \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align*}

sinxの導出

すでに導出したtanxとcosxを用います.
 \displaystyle \begin{align*}
sinx &= cosx \cdot tanx \\ \\
&= \frac{1-t^2}{1+t^2} \cdot \frac{2t}{1-t^2} \\ \\
&= \frac{2t}{1+t^2} \\ \\
\end{align*}

dxの導出

商の微分法を用いて微分した後,cosxをtanxで置き換えます.
 \displaystyle \begin{align*}
\frac{dt}{dx} &= (tan{\frac{x}{2}})^{\prime} \\ \\
&= (\frac{sin{\frac{x}{2}}}{cos{\frac{x}{2}}})^{\prime} \\ \\
&= \frac{\frac{1}{2}cos^2{\frac{x}{2}} - (-\frac{1}{2}sin^2{\frac{x}{2}})}{cos^2{\frac{x}{2}}} \\ \\
&= \frac{1}{cos^2{\frac{x}{2}}} \\ \\
&= \frac{1 + tan^2{\frac{x}{2}}}{2} \\ \\
&= \frac{1+t^2}{2} \\ \\
&\therefore dx = \frac{2}{1+t^2}dt
\end{align*}

例題を解く

 
\displaystyle
\int \frac{1}{sinx} dx \\ \\
t = tan{\frac{x}{2}} とすると\\ \\
\begin{align*}
\int \frac{1}{sinx} dx &= \int \frac{1+t^2}{2t} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt \\ \\
&= \int \frac{1}{t} dt \\ \\
&= log{ |t| } + C\\ \\
&= log{ |tan{\frac{x}{2}}| } + C
\end{align*}